Geometría Diferencial (30070)

Índice del curso

1. Fundamentos de variedades diferenciables
   • Variedades y espacio tangente. PDU. Fibrado tangente y fibrados vectoriales.
   • Cálculo tensorial. Campos, flujos y derivada de Lie. Formas y teorema de Stokes.
   • Distribuciones y foliaciones. Teorema de Frobenius.
2. Topología algebraica en variedades
   • Cohomología de de Rham.
   • Teoría de Morse y teoría del grado.
3. Geometría riemanniana
   • Métricas riemannianas.
   • Curvatura intrínseca y curvatura extrínseca. Curvas planas.
   • Superficies en el espacio. Teorema de Gauss-Bonnet y teorema egregio de Gauss.
   • La conexión de Levi-Civita.
   • Geodésicas y aplicación exponencial.
   • El tensor de curvatura.
4. Álgebras y grupos de Lie
   • Álgebras de Lie.
   • Grupos de Lie.
5. Fibrados principales
   • Fibrados principales. Fibrados asociados.
   • Conexiones y curvatura.
6. Holonomía y curvatura constante
   • Holonomía y conexiones planas.
   • Geometría a la Cartan. Formas espaciales.
7. Clases características
   • Polinomios invariantes.
   • El homomorfismo de Chern-Weil.
   • El teorema de Chern-Gauss-Bonnet.
8. Introducción al análisis global
   • Análisis en variedades.
   • La ecuación de Poisson.

Referencias

Bibliografía general

• Foundations of Differential Geometry, S. Kobayashi y K. Nomizu.

  Una de las "biblias" de la geometría diferencial. Contiene esencialmente todo lo que veremos en el curso y mucho más.

• A comprehensive introduction to Differential Geometry, Vol. 2, M. Spivak.

  Otra buena referencia, que cubre gran parte de los contenidos del curso.

• Riemannian Geometry, M.P. do Carmo.

  Una de las referencias estándar más conocidas sobre geometría riemanniana.

• Riemannian Manifolds. An introduction to curvature, J.M. Lee.

  Una referencia más moderna, continuación directa de su libro de variedades.

• Global Calculus, S. Ramanan.

  Aunque con una mirada tal vez más orientada hacia la geometría compleja y con un énfasis más pronunciado en la teoría de haces, este libro también cubre en gran parte la teoría de fibrados y conexiones.

• Geometry of Differential Forms, S. Morita.

  Con una perspectiva y estilo más similar al del libro de Ramanan, los contenidos de este libro también se ajustan bastante a los contenidos del curso, aunque con mucho menos detalle en la parte de geometría riemanniana.

• Geometry and Topology of Manifolds. Surfaces and Beyond, V. Muñoz, A. González-Prieto, J.A. Rojo.

  Este libro surgió del curso de máster de geometría diferencial de la Complutense, y por tanto tiene un espíritu similar a esta asignatura, y solapa con nosotros en algunos contenidos, especialmente en las parte de geometría riemanniana y análisis global, aunque evita deliberadamente trabajar con fibrados.

"Repaso" de Variedades Diferenciables

• Introduction to Smooth Manifolds, J.M. Lee.

  Referencia básica, que contiene todo lo que se necesita saber sobre los fundamentos de las variedades diferenciables.

• Calculus on Manifolds, M. Spivak.

  Un curso acelerado de cálculo en variedades, cuya meta es enunciar y demostrar el teorema de Stokes. Un buen sitio para empezar para aquellos que no hayan estudiado nunca un curso de variedades. También hace un buen repaso del cálculo en varias variables que se ve en la carrera.

• A comprehensive introduction to Differential Geometry, Vol. 1. M. Spivak.

  Similar al Lee, el volumen 1 de esta serie es una buena referencia básica de variedades diferenciables.

• Iniciación al estudio de las variedades diferenciables. J.M. Gamboa y J.M. Ruiz Sancho.

  Aunque cometen el pecado mortal de no trabajar con variedades abstractas, sino con subvariedades regulares del espacio euclidiano, este libro es una referencia estándar para un curso de variedades diferenciables del grado, de modo que cubre sobradamente (si se tienen en cuenta los ejercicios) los prerrequisitos de esta asignatura.

Para los físicos

Los físicos pueden disfrutar de un par de libros que cubren un amplio espectro de contenidos de geometría diferencial y topología algebraica necesarios para entender ciertos aspectos de la Física moderna, y siempre teniendo esta perspectiva presente, explicando como estas nociones matemáticas aparecen en Física.

• Geometry, Topology and Physics, M. Nakahara.
• The Geometry of Physics. An introduction, T. Frankel.

Algunos apuntes interesantes

• Riemannian Geometry, D. Freed (notas de A. Debray). Enlace.

  Notas de un curso de máster de geometría riemanniana (M392C) en la Universidad de Texas en Austin, que en gran parte han servido de guía e inspiración para este curso.

• Gauge Theory, J. Figueroa-O'Farrill. Enlace. (El enlace original está roto a fecha del 16 de septiembre de 2026, pero se puede acceder a las notas desde el siguiente enlace).

  Una buena introducción breve a la teoría de fibrados principales.

• Bundles, M. Castrillón y V. Muñoz. Enlace.

  Notas muy completas de un curso de doctorado sobre fibrados.